O Quarteto Fantástico: 2012

quarta-feira, 3 de outubro de 2012

Conceito de número

A construção do conhecimento numérico.

É comum a criança chegar à escola sabendo contar as primeiras seqüências dos números, isto acontece devido ao conhecimento social e interativo com a família. Constance Kamii diz que “Sabe-se que as noções numéricas são desenvolvidas com base nos intercâmbios dos pequenos com o ambiente e, portanto, não dependem da autorização dos adultos para que ocorram. Ninguém espera chegar aos 6 anos para começar a perguntar sobre os números.”. Entretanto os conceitos numéricos não são adquiridos pela linguagem, por ser um processo interno que ocorre na mente da criança. Segundo Piaget, o desenvolvimento da criança acontece através de estágios, isto é, a criança leva certo tempo para aprender porque suas estruturas e esquemas mentais não estão formados totalmente, portanto, o conceito de números não pode ser decorado, é preciso que a criança construa estruturas mentais para assimilar esses conceitos. Por isso a criança precisa ser estimulada para pensar por si própria e elaborar cada vez mais sua rede interna de conhecimento. Numa visão construtivista, é transformar o pensamento em ação e a ação, em movimento. Segundo Polya (1977): A aprendizagem começa com ação e percepção, desenrola-se com palavras e conceitos e deveria terminar com hábitos mentais desejáveis. O professor deve proporcionar experiências de todos os tipos de objetos de relações possíveis para estimular o aprendizado dos números. O livro: A criança e o Número de Constante Kamii, no livro há uma série de intervenções para serem aplicadas durante a rotina na sala de aula. Por exemplo:

A professora pode pedir às crianças que ajude na distribuição de materiais, na divisão de objetos, por exemplo, a professora pode dar certa quantidade de bolachas a uma criança e pedir que ela distribua entre os colegas, fazer com que troque idéias com as outras crianças. Na coleta de objetos: exemplo quantas crianças trouxeram seus bilhetes, hoje? Na manutenção de quadros e registros dos alunos presentes e ausentes. Na arrumação da sala, por exemplo: Pedir que cada criança guarde três coisas. Na votação, escolher favorece a autonomia. Jogos em grupos como bolinha de gude e boliche que favorece a contagem de objeto e a comparação de quantidades. Jogos de esconder. Corrida e brincadeiras de pegar jogo de adivinhação. Jogos de tabuleiro, de baralho.

Concluindo, Piaget tinha preocupações epistemológicas, ou seja, como acontece o conhecimento geneticamente e Constance Kamii tinha preocupações didáticas, ou seja, como proporcionar o conhecimento.

Construindo operações

Nosso cotidiano está rodeado de números, muitas vezes não percebemos e nem nos damos conta de que eles estão em nosso dia a dia facilitando nossa vida.

Relacionamos 20 situações em que as operações matemáticas são utilizadas:

1) calculadora

2) controle remoto

3) placas de trânsito

4) receitas

5) canais de tv

6) placa de carro

7) placa de rua

8) linha de ônibus

9) cartas

10) cep

11) número de casa

12) agenda telefônica

13) calendário

14) página de livros

15) relógio

16) cupom de notas fiscais

17) propaganda

18) fatura de cartão de crédito

19) jogos da quina, sena, etc.

20) teclado de computador

Elaboramos uma atividade para mostrar como podemos auxiliar uma criança na conquista deste conceito numérico de maneira com que ela nem se dê conta de que está usando a matemática. Por si, ela vai, aos poucos, construindo estas noções numéricas e tornando seu uso um hábito diário e cotidiano.

Essa atividade destina-se ao 2° ano do ensino fundamental regular.

Objetivos:

Situar a criança no tempo e espaço;
Permitir que a criança estabeleça a relação sobre o tempo (horas/ dia).

Materiais utilizados (situações escolhidas):

Calendário e relógios (analógico e digital).

Situação Didática:

Em primeiro lugar, vamos esclarecer a criança que um dia possui 24 horas, que 12 destas horas correspondem ao dia (quando está claro) e 12 à noite (quando está escuro, hora de dormir).

Utilizando os dois modelos de relógio, sendo um o analógico e o outro digital, orientaremos a criança em relação aos números ali presentes e como acontece o processo de troca de números entre eles, ou seja, para que cada minuto, identificado pelo ponteiro maior no modelo analógico passe, é necessário terem passados 60 segundos, ou seja, contar até 60, e para que o ponteiro menor, que indica as horas mude de posição são necessários que o ponteiro maior tenha percorrido 60 minutos, ou 60 vezes os 60 segundos (correspondentes a 3.600 segundos), para que isto ocorra o ponteiro dos minutos percorreu todo o relógio, dando uma volta completa do número 12 até retornar a ele novamente. Embora a criança nesta idade, talvez ainda não tenha noção de multiplicação, usaremos a soma para explicar a ela que quando o ponteiro dos minutos atinge um número passaram-se 5 minutos, uma vez que os relógios analógicos identificam apenas números de 1 a 12. Já no relógio digital, o formato de horas é de 24, o que corresponde a exatamente a quantidade de horas que compõem 1(um) dia. Este modelo de relógio permite que a criança visualize cada mudança de minuto e de horas, uma vez que também mostra a contagem dos segundos, sendo que, desta forma, quando o relógio indica 00:00, corresponde a um novo dia que acabará quando ele indicar 23:59, mas como em nosso cotidiano, nos deparamos mais com o modelo analógico, faz-se necessário que a criança tenha um entendimento de que para que o dia de hoje passe a ser o dia de amanhã, o ponteiro das horas percorreu duas voltas completas. Com o calendário ao lado da criança, mostraremos esta passagem do dia através das horas indicadas no relógio.

Podemos fazer uma simulação utilizando um relógio de brinquedo onde a criança mudará com os dedos os minutos e horas fazendo o dia passar e alcançar o próximo dia, cada dia que passar ela poderá circular no calendário e assim vai percebendo como os dias vão se passando.

O texto abaixo esclarece o andamento e o desenvolvimento da atividade realizada.

Dia a Dia

Mediante a proposta aplicada com a criança Nicolli Karoline, idade 7 anos estuda no 2° ano do ensino fundamental I, percebi um pouco de dificuldades no primeiro momento quando utilizei o relógio analógico, mais quando utilizei o relógio digital e fiz a mesma experiência o seu comportamento mudou um pouco, ela conseguiu fazer a atividade proposta sem restrições, é claro que fez algumas perguntas como, por exemplo, porque que é dia e de repente vira a noite e ela dorme e quando acorda está claro novamente. Respondi que quando a noite chega nosso corpo precisa descansar para recebermos o novo dia com disposição e darmos continuidade às atividades do trabalho e da escola, por exemplo.

Sendo assim ela fez toda a atividade e no final desenhou um relógio, dizendo que logo sua mãe compraria um para ela ver as horas e esperar a data do seu aniversário. Observando essas palavras pude perceber que ela já estava fazendo relação entre uma coisa e outra.

Curiosidade: Nomeamos o nome do texto como DIA A DIA, pois a intenção era mostrar para a criança como um dia vai e outro vem e que isto acontece todos os dias dia a dia de acordo com o passar do tempo (horas).

Cálculo Mental

A importância do Cálculo Mental

A pergunta principal de nossa pesquisa é: Qual o valor e o papel do cálculo mental nas séries iniciais do Ensino Fundamental? Esta pesquisa busca identificar quais as concepções de cálculo mental e a sua importância no contexto educacional da rede municipal de São Paulo, do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Buscamos compreender tal contexto junto aos professores da rede e também junto às propostas curriculares e aos cursos de formação. Para tanto, analisamos alguns documentos da rede municipal, questionários respondidos pelos professores e uma entrevista com uma formadora da rede. Consideramos cálculo mental como um conjunto de procedimentos de cálculo que podem ser analisados e articulados diferentemente por cada indivíduo para a obtenção mais adequada de resultados exatos ou aproximados, com ou sem o uso de lápis e papel. Os procedimentos de cálculo mental se apóiam nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações, e colocam em ação diferentes tipos de escrita numérica, assim como diferentes relações entre os números. O cálculo mental permite maior flexibilidade de calcular, bem como maior segurança e consciência na realização e confirmação dos resultados esperados, tornando-se relevante na capacidade de enfrentar problemas. Tal desenvolvimento de estratégias pessoais para se calcular vai ao encontro das tendências recentes da psicologia do desenvolvimento cognitivo, que nos apontam para a importância de uma aprendizagem com significado e do desenvolvimento da autonomia do aluno. Desse modo, paralelamente, outras perguntas foram sendo traçadas e surgiu a necessidade de buscarmos perceber quais as concepções de ensino-aprendizagem que estão por trás das estratégias de ensino de cálculo mental adotadas na rede. Portanto, também permeiam pela pesquisa, as discussões acerca da exploração e resolução de problemas, da relação professor-saber-aluno e da aprendizagem com compreensão, principalmente as suscitadas por Piaget, Kamii e Charnay. Percebemos que tanto por parte dos documentos quanto dos professores há o reconhecimento da importância do cálculo mental no ensino-aprendizagem de matemática, mas, na prática, é pouco usado em sala de aula e sua concepção gera diversas interpretações. Embora o cálculo mental venha recebendo destaque em diversos programas curriculares e em pesquisas acadêmicas, ainda há necessidade de se ampliar a discussão tanto em relação ao seu papel na construção dos conhecimentos matemáticos, quanto às formas ou metodologias envolvidas no seu desenvolvimento. Assim, esse trabalho procura contribuir para a reflexão da importância do cálculo mental para a construção dessa autonomia discente e traçar um olhar sobre o seu valor e papel no campo da educação matemática.

Referências bibliográficas:
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/pensar-matematico-428559.shtml
http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-11112010-162005/pt-br.php

Autores Matemáticos

Vários são os autores que apresentam suas propostas de como trabalhar com a matemática, dentre eles, escolhemos dois e vamos explicar como eles apresentam suas teorias.

Constance Kammi

É com propriedade, que Kamii defende diferentemente do que algumas interpretações indicam desenvolver e exercitar os aspectos lógicos do número com atividades pré-numéricas (seriação, classificação e correspondência termo a termo) é uma aplicação equivocada da pesquisa de Jean Piaget (1896-1980). Na realidade, o cientista suíço tinha preocupações epistemológicas e não didáticas. Sabe-se que as noções numéricas são desenvolvidas com base nos intercâmbios dos pequenos com o ambiente e, portanto, não dependem da autorização dos adultos para que ocorram. Ninguém espera chegar aos 6 anos para começar a perguntar sobre os números...

O texto enfatiza que uma criança ativa e curiosa não aprende Matemática memorizando, repetindo e exercitando, mas resolvendo situações-problema, enfrentando obstáculos cognitivos e utilizando os conhecimentos que sejam frutos de sua inserção familiar e social. Ao mesmo tempo, os avanços conquistados pela didática da Matemática nos permitem afirmar que é com o uso do número, da análise e da reflexão sobre o sistema de numeração que os pequenos constroem conhecimentos a esse respeito.

Também merecem destaque algumas posturas que o professor deve levar em conta ao propor atividades numéricas, como encorajar as crianças e colocar objetos em relação, pensar sobre os números e interagir com seus colegas.

Trecho do livro

“Quando ensinamos número e aritmética como se nós, adultos, fôssemos a única fonte válida de retroalimentação, sem querer ensinamos também que a verdade só pode sair de retroalimentação, sem querer ensinamos também que a verdade só pode sair de nós. Então a criança aprende a ler no rosto do professor sinais de aprovação ou desaprovação. Tal instrução reforça a heteronomia da criança e resulta numa aprendizagem que se conforma com a autoridade do adulto. Não é dessa forma que as crianças desenvolverão o conhecimento do número, a autonomia, ou a confiança em sua habilidade matemática. (...) Embora a fonte definitiva de retroalimentação esteja dentro da criança, o desacordo com outras crianças pode estimulá-la a reexaminar suas próprias idéias. Quando a criança discute que 2 + 4 = 5, por exemplo, ela tem a oportunidade de pensar sobre a correção de seu próprio pensamento se quiser convencer a alguém mais. É por isso que a confrontação social entre colegas é indispensável (...)"

A educação matemática brasileira em geral é estruturada de tal forma a viabilizar que seus diferentes ramos (aritmética, álgebra, geometria e trigonometria) sejam ensinados pouco a pouco, seriadamente e atingindo níveis cada vez mais complexos no decorrer da escolarização básica (fundamental e média). Tal estruturação deve-se principalmente aos movimentos de reforma do ensino das matemáticas, ocorridos em vários países no fim do século XIX, que propunham a unificação de seus ramos numa única disciplina, a matemática. Mas foi somente na década de 1930, seguindo princípios orientadores dos movimentos revolucionários nos EUA em relação à educação matemática, que ocorreu a mudança estrutural no currículo brasileiro.

Celso Antunes

A criança e o mundo dos números

É possível pensar sem palavras, o que é bem mais difícil é expressar esses pensamentos sem o uso de palavras. É evidente que se vemos uma pessoa sorrindo ou percebemos outra que chora, não é difícil imaginar o que pensam, mas a clareza maior desses pensamentos nos chega quando junto com a expressão facial, acolhemos suas palavras. O auxílio que a palavra presta ao pensamento é colossal e, por esse motivo, quem mais palavras aprendem, melhor pensa e de forma mais nítida pode conversar com os outros ou, através de conversa interior, promover uma verdadeira dança em seus pensamentos. Alfabetizar uma pessoa é importante não apenas porque aumenta seu valor social e desenvolve mais plenamente sua auto-estima, mas principalmente porque lhe conferindo maior número de palavras, abre seus pensamentos e permite a essa pessoa alfabetizada uma dignidade maior em sua condição humana. Quando menos palavras uma pessoa conhece, maior sua proximidade aos bichos. Mas, o que ocorre com as palavras que expressam números? Será que sabendo uma menor quantidade de palavras que indicam expressões numéricas, é também menor a nossa abstração matemática? Será válido afirmar que quanto mais matemática se aprende, se ganha também dignidade maior de pensamentos abstratos e é maior a ênfase a nossa condição humana? Desenvolver a inteligência lógico-matemática implica em um pensar maior? Se for extremamente difícil imaginar como seria uma pessoa criada em um ambiente sem uma língua, é mais simples que se imagina estudar comunidades que conhecem pouco os números. Os índios Piraãs, da Amazônia, por exemplo, falam uma língua na qual somente existem três palavras que expressam números. Usam o “Hói” para dizer um; ”Hoí” para dizer e pensar dois e “aíba-agi” que significa três ou muitos. Quando foram encontrados e melhor estudados, tornou-se possível perceber a natureza de seus pensamentos numéricos. Ao se traçar um ou dois traços na areia, identificavam essa quantidade sem qualquer hesitação, mas não descobriam qualquer diferença entre cinco, sete ou quinze traços. Percebiam, tal como uma criança aculturada, a diferença em um vidro com uma ou com duas sementes, mas seus acertos regrediam rapidamente quando se mostravam outros frascos com quantidade maior, mas variável, de sementes. Os Piraãs são extremamente competentes, como qualquer criança branca, ao informar em qual frasco existe mais ou menos sementes, mas são absolutamente incapazes de abstrair qualquer relação de quantidade, quer demonstrada de maneira prática com traços e vidros, quer interrogados verbalmente. Os estudos realizados com esses indígenas – ou outros ainda que não possuem palavras para uma infinita quantidade de números – ensinam-nos algumas coisas e são estas importantes para a educação infantil. A primeira sugere que o cérebro humano mesmo sem dispor de uma linguagem numérica é capaz de efetuar operações matemáticas simples, a segunda e bem mais importantes, é que uma ampla linguagem numérica constitui elemento essencial para que o cérebro execute operações matemáticas precisas e, portanto, quanto mais abstração matemática se aprende a desenvolver, maior a capacidade de pensar concreta e criativamente. Ainda que essas observações pareçam extremamente óbvias, constituem um alerta para educadores que, em nome de uma pretensa modernidade, correm atrás e com frenética fartura equipam crianças com calculadoras e computadores, afastando-os das tradicionais experiências aritméticas na lousa ou em singelo caderno. O tipo de pensamento desenvolvido quando realizamos operações matemáticas é algo elástico e dinâmico que mais fino e evoluído se torna, quanto mais estímulos se promovem. "Nada contra a modernidade e é importante que a escola possa estar eletronicamente bem equipada para melhor exercitar e atualizar tecnologicamente os seus alunos, mas o uso de novas linguagens e tecnologias não deve representar ousadia para que se esqueça e abandone linguagens tradicionais. Ainda não existe e provavelmente jamais se inventará meios de para superar a ampliação da capacidade de abstração numérica, sem os desafios expressos pelas continhas convencionais, nos cadernos de sempre. Não podemos deixar nos iludir pela sensação de que a tecnologia é ilimitada e para tudo serve. Será que um dia a mão metálica de um frio robô poderá substituir a ternura que emana da mão de uma mestra, que afaga e consola as lágrimas de uma criança?

Referências bibliográficas:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/pensar-matematico-428559.shtml

http://www.celsoantunes.com.br/pt/textos_exibir.php?tipo=TEXTOS&id=22

http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-11112010-162005/pt-br.php

Atividades com Ábaco

Atividade proposta para realização com utilização do ábaco.

A atividade foi realizada com uma criança de 8 anos de idade, cursando o 3º ano do ensino regular fundamental, que já possui entendimento em contas de adição e subtração realizadas em forma algorítmica e utilizando os dedos e ou outras formas “concretas” para representar os números e efetuar as operações, alguns cálculos mentais já são feitos também, mas, no entanto, nunca havia trabalhado com o modelo de ábaco a ela apresentado para a realização desta atividade.

Primeiramente, foi apresentado o referente modelo de ábaco a ela orientando quando a representação de cada linha (UNIDADE, DEZENA, CENTENA, MILHAR...), ela mesma percebeu que em cada linha há 10 contas e sabe fazer a correspondência entre a troca delas, ou seja, sabe que 10 unidades equivalem a 1 dezena e assim por diante. Pedi que realizasse as atividades falando o que estava fazendo para que eu pudesse perceber até onde ia seu entendimento e onde surgiriam suas dúvidas e dificuldades, bem como usasse os termos correspondentes a cada casa decimal. Diante dos esclarecimentos, foram lançadas a ela as seguintes propostas:

1) Represente os seguintes números no ábaco:

39 – 48 – 151 – 600 – 703 – 1237 – 530 – 2026

Esta atividade foi para me certificar de que a criança estava entendendo a forma representativa dos números no ábaco, para assim, poder dar o passo seguinte. Ela sentiu-se segura quanto a esta etapa e acertou todas as representações.

2) Resolva as seguintes adições:

525+25 847+96 458+42 377+633 39+410

Escrevi em um papel estas operações, uma abaixo da outra e pedi que após achar o resultado escrevesse a resposta a frente de cada uma. Acompanhei atenciosamente a realização destas e percebi a cautela que ela teve ao efetuar cada uma, principalmente quanto à troca de casas decimais, nas primeiras operações percebi um pouco de insegurança quanto ao resultado obtido, pois sempre me perguntava se estava certo, eu simplesmente dizia que na dúvida efetue o processo novamente, no entanto, em apenas uma delas ela refez e justamente nesta, ela acabou se perdendo na contagem de uma das contas por uma simples distração e errou o resultado, o qual acabou percebendo por si mesma quando pedi para armar e efetuar as operações para se certificar dos resultados. O interessante é que ela acreditou que, devido à divergência de resultado, o cálculo algoritmo estivesse errado e não a do ábaco, isto mostrou o quanto a criança percebeu a eficácia de resultados obtidos através da utilização do ábaco.

3) Resolva as seguintes subtrações:

48-33 129-99 637-476 542-241 253-213

Como a subtração faz o processo inverso da adição, senti que ela ficou um pouco perdida e agiu com grande cautela para realizar as operações, em alguns momentos tive que atuar como agente facilitadora ajudando-a a entender que era necessário trazer as contas para o lado oposto do ábaco em relação à adição, ou seja, na adição trazemos as contas para a direita, pois o intuito é acrescentar ao número que lá já está representado, e na subtração, temos que devolvê-los, levando-os para a esquerda. Por si, ela acabou percebendo que a troca de casas decimais na subtração ocorre da esquerda para a direita, enquanto que na adição é da direita para a esquerda. Realizou todas as operações sem errar nenhuma, como na adição, pedi que armasse e efetuasse as operações.

Por fim, pedi que escolhesse uma de cada operação para tirar a prova real no ábaco, ela ficou surpresa, e disse: - será que dá certo? Falei para fazer e ver, e não é que dá mesmo, disse ela.

Perguntas desafiadoras para reflexão

1) Ao representar no ábaco o número 99.999, qual seria o valor que você poderia somar a este que fosse possível representar utilizando apenas uma das casas decimais no ábaco e como você o faria?

R: A criança demorou a entender por onde começaria, mas o desafio era perceber se realmente ela tinha compreendido quando fazia a troca entre as casas e quando ela realmente havia acrescido algo. Em uma primeira solução, ela acreditou ter encontrado o número 1.111 como resposta, chegando a representação do número 100.000, pedi que ela repetisse todo o processo falando exatamente o que estava fazendo para ter certeza do resultado e se atentar quanto ao número que realmente acrescentou e o que apenas trocou entre as casas decimais, na terceira tentativa, percebeu que o que tinha acrescido era apenas uma unidade e que nas demais casas apenas havia feito a troca, aí pude concluir que ela entendeu o que estava fazendo.

2) Representando no ábaco o número 100.000, seria possível subtrair apenas 1 unidade dele? Como você faria para achar o resultado?

R: Ficou pensando por onde começaria, uma vez que não havia unidades representadas para que efetuasse a subtração, então começou a troca de casas decimais até chegar à unidade, e então achou que já tinha encontrado a resposta, mas não conseguia ler a representação já que na casa das unidades tinham 10 contas, então falou que ia acabar voltando tudo como estava, uma vez que quando completa 10 contas em uma casa tinha que fazer a troca, seu conceito estava certo, mas ainda não havia percebido que o desafio pedia para subtrair apenas 1 unidade, quando citei para ela novamente o desafio, refez todo o processo e percebeu que tirando apenas 1 unidade ia ter o resultado 99.999, ou seja, como na casa das unidades haviam 10 contas, tirou uma, que era o que pedia no desafio, e achou o resultado.

3) A partir do resultado encontrado na questão anterior, seria possível acrescentar mais 2 unidades? Como você chegou a esta conclusão?

R: Utilizou a representação do número 99.999 já presente. Antes de começar, já disse que não seria possível, pois tinha apenas uma unidade. Solicitei que então começasse para ver se realmente não seria possível acrescentar 2 unidades ao número 99.999. Então acrescentou a conta disponível na unidade e foi fazendo as trocas até obter o número 100.000 e logo percebeu que tinha unidades suficientes para acrescentar mais uma somando duas unidades como pedira no desafio, desta forma afirmou ser possível acrescentar 2 unidades ao número 99.999.

Este foi o modelo de ábaco utilizado para desenvolver esta atividade.